Matemática por trás dos jogos: Torre de Hanói

A Torre de Hanói é um ´´quebra-cabeça`` que consiste em uma base contendo três pinos, em um dos quais são dispostos alguns discos uns sobre os outro, em ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O problema consiste em passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, de maneira que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação. O número de discos pode variar sendo que o mais simples contém apenas três.Ela tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho e principalmente de planejamento e solução de problemas.

Um modelo da Torre de Hanói

História e a lenda da Torre de Hanói

A Torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismo ou quebra-cabeça do fim do mundo, foi inventado e vendido como brinquedo no ano de1883 pelo matemático francês Edouard Lucas. Segundo ele, o jogo que era popular na China e no Japão veio do Vietnã. O matemático foi inspirado por uma lenda Hindu, a qual falava de um templo de Benares, cidade Santa de Índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo, cuja função era melhorar a disciplina mental dos jovens monges.

De acordo com a lenda, no grande templo de Benares, debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma placa de bronze sobre a qual estão fixadas três hastes de diamante. Em uma dessas hastes, o deus Brama, no momento da criação do mundo, colocou 64 discos de ouro puro, de forma que o disco maior ficasse sobre a placa de bronze e os outros decrescendo até chagar ao topo. A atribuição que os monges recebem foi de transferir a formada pelos discos de uma haste para outra usando a terceira com auxiliar com as restrições de movimentar um disco por vez e de nunca colocar um disco maior sobre menor. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transforma em pó e o mundo acabaria. O desaparecimento do mundo pode ser discutido, mas não há dúvida quanto ao desmoronamento do templo estaca para outra segundo as suas instruções. As regras eram simples: Apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo a lenda quando todos os disco fosse transferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronaria- se e o mundo desapareceria. Dessa forma criari-se um novo mundo, o Mundo de Hanói.

Soluções para Torre de Hanói

É interessante observar que o número mínimo de ´´movimentos´´ para conseguir transferir todos os discos da primeira estaca á terceira é

, sendo n o numero de discos. Logo:

Para solucionar uma Torre de Hanói de 4 discos, são necessários 15 movimentos;

Para solucionar uma de 7 discos, são necessários 127 movimentos;

Para solucionar uma de 15 discos, são necessários 32.767 movimentos;

Pra solucionar uma de 64 discos, como diz a lenda, são necessários 18.446.744.073.709.551.615 movimentos.

Para entender a lógica da Torre de Hanói é necessário analisar a construção de diferentes níveis da torre com o número mínimo de movimentos, tendo o nível anterior já formado, sendo que esses níveis são o número de peças desintegradas da torre original que irão formar outra torre com os menores discos.

Para mover o primeiro disco da torre original, 1 movimento é gasto. Para mover o segundo da torre original, sendo que o primeiro já foi movido e será construída um torre com os 2 menores discos, são gastos 2 movimentos. Para deslocar o terceiro disco formando nova torre com três menores discos, tendo a torre com os dois menores já formada, são gastos 7 movimentos.

Assim se sucede com os próximos discos até que o enésimo disco (o último) seja deslocado compondo uma torre com os outros discos tendo uma torre com o penúltimo disco e os demais juntos já formados. A sucessão formada pela soma dos movimentos é uma sucessão

A fórmula

é provinda da soma de uma progressão geométrica.Sabe-se que em uma progressão geométrica a soma de seus termos equivale a

, onde ´´a`` é o primeiro termo e ´´q`` é a razão. Ficara:

Solução do problema com uma torre de quadro discos

Aplicação e benefícios da Torre de Hanói

A Torre de Hanói pode ser trabalhada em níveis de desenvolvimento com crianças. Na pré-escola, com regras simples de separação de cores e tamanhos, a Torre de Hanói ajuda em questões de coordenação motora, identificação de formas, ordem crescente e decrescente, entre outras formas de aprendizado.

De uma maneira mais ampla, o jogo pode ser usado para o estabelecimento de estratégias de transferência das peças, como a contagem dos movimentos e raciocínio.

Iniciando com um número menor de peças, ou seja, resolvendo problemas mais simples, tendo oportunidade de experimentar uma das mais importantes formas de raciocínio matemático.

O jogo trabalha o desenvolvimento da lógica e do raciocínio matemático. É usado para desenvolver as crianças.

Algumas imagens do jogo Torre de Hanói